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TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO

Si la bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo corta a la prolongación del lado opuesto, determina sobre esta segmentos proporcionales a los otros dos lados.

HIPOTESIS:

-Triángulo ABC

-El ángulo MAC es adyacente al ángulo A

-(AD) bisectriz del MAC

TESIS: (proporcionalidad)

(BD)/(CD) =(AB)/(AC)

DEMOSTRACIÓN:

Por el vértice C se traza la paralela (AD)

que corta al lado (AB)

en el punto E, entonces

por el corolario del Teorema de Thales:

(BD)/(CD) = AB) /(AE) (1)

-Vamos a demostrar ahora que (AE) =(AC)

Por un lado tenemos que:

α = α' por ser ángulo alternos internos entre AD//CE y

secante AC.

Y β = β' por ser ángulo correspondiente entre AD//CE y

secante BM.

Pero como α = β por ser AD bisectriz del MAC 4 α' = β'

Entonces el EAC es isósceles 4 (AE)=(AC)

Reemplazando en (1):

(BD)/(CD) =(AB)/(AC) c.s.q.d

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